Question

记三角形面积为S，三条边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则平面几何有性质：S=

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（a+b+c）•r．若记四面体的体积为V，四个面面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，内切球半径为R，请你用类比方法写出立体几何中相似的性质

V=

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3

（S₁+S₂+S₃+S₄）•R

．

Answer 1

分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答：解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
利用类比推理可以得到四面体的体积为 V=

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3

（S₁+S₂+S₃+S₄）•R．
故答案为：V=

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（S₁+S₂+S₃+S₄）•R．

点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．