题目内容

27、是否存在等差数列{an}，使a1cm0+a2cm1+a3cm2+…+an+1cmn=n•2m对任意n∈N*都成立？若存在，求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
分析：假设存在等差数列an=a1+（n-1）d，满足题意，通过对a1cm0+a2cm1+a3cm2+…+an+1cmn=n•2m整理，找出a1=0，d=2，即可说明存在数列，求出数列{an}的通项公式即可．
解答：证明：假设存在等差数列an=a1+（n-1）d
满足要求a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+…+an+1Cnn=a1（Cn0+Cn1+…+Cnn）+d（Cn1+2Cn2+…+nCnn）（4分）
=a1•2n+nd（Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1）=a1•2n+nd•2n-1
依题意a1•2n+nd•2n-1=n•2n，2a1+n（d-2）=0对n∈N+恒成立，（10分）
∴a1=0，d=2，
所求的等差数列存在，其通项公式为an=2（n-1）．
点评：本题考查数列的存在性问题，数列求和，数列的应用，以及二项式定理的应用，是难度较大题目．
练习册系列答案
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1
2
，f（
1
2
））处的切线为l，f′（
1
2
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1
2
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∫
n
0
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1an
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