Question

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，1）作直线与抛物线x²=2y相交于A，B两   点．若点N是点C关于坐标原点O的对称点，则△ANB面积的最小值为

2

2

．

Answer 1

分析：依题意可知点N的坐标，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设出直线AB的方程，与抛物线联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和的x₁x₂表达式，代入三角形面积公式中，可得k=0时△ANB面积有最小值，并且求出最小值．

解答：解：依题意得：点N的坐标为N（0，-1），可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线AB的方程为y=kx+1，
直线方程与x²=2y联立得

x2=2y y=kx+1

消去y得x²-2kx-2=0，
所以由韦达定理得x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2．

由图可得：S△ABN=S△BCN+S△ACN=

1

2

•2|x1-x2|
=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4k2+8

=2

k2+2

，
∴当k=0，(S△ABN)min=2

2

．

点评：本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．