Question

已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．

（Ⅰ）求直线的方程及的值；

（Ⅱ）若（其中是的导函数），求函数的最大值；

（Ⅲ）当时，求证：．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率

，

       所以直线的方程为．

       又因为直线与的图像相切，所以由

              ，

       得（不合题意，舍去）；

   （Ⅱ）因为（），所以

              ．

       当时，；当时，．

       因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值；

   （Ⅲ）当时，．由（Ⅱ）知：当时，，

       即．因此，有

              ．