Question

已知双曲线过点（4，

4 7

3

），渐近线方程为y=±

4

3

x，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是

16

3

．

Answer 1

分析：求出双曲线方程，可得双曲线的顶点、焦点，从而可得圆心坐标，即可求圆心到该双曲线的中心的距离．

解答：解：由题意，设双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=λ
∵双曲线过点（4，

4 7

3

），∴λ=1
∴双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1，
∴双曲线的顶点为（±3，0），焦点为（±5，0）．
又圆心在双曲线上，所以圆C应过左顶点、左焦点或右顶点、右焦点，即圆心的横坐标为±4，
设圆心的纵坐标为m，则

16

9

-

m2

16

=1，
所以m²=

112

9

，
所以所求的距离为

(±4)2+ 112 9

=

16

3

．
故答案为：

16

3

．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．