Question

如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据A（0，1）是椭圆C的顶点得a值，根据离心率为，求出b值，从而求椭圆C的方程；
（2）欲求双曲线E的方程，只须求出其实轴长即可，而要使双曲线E的实轴最长，只需||MF₁|-|MF₂||最大即可，根据对称性知，直线F₂F₁′与直线l的交点即为所求的点M即能使||MF₁|-|MF₂||最大，从而问题解决．
解答：解：（1）由题意可知，b=1（1分）
∵e=
即∴a²=5（3分）
∴所以椭圆C的方程为：（4分）
（2）设椭圆C的焦点为F₁，F₂，
则可知F₁（-2，0），F₂（2，0），
直线l方程为：x-y+1=0（6分）
因为M在双曲线E上，所以要使双曲线E的实轴最长，
只需||MF₁|-|MF₂||最大．
又∵F₁（-2，0）关于直线l：x-y+1=0的对称点为F′₁（-1，-1），
则直线F₂F₁′与直线l的交点即为所求的点M（9分）
∵直线F₂F₁′的斜率为k=，其方程为：y=（x-2）
∴解得
∴M（-，-）（12分）
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁′|-|MF₂||≤|F2F₁′|==
∴a′max=，此时b′=，
故所求的双曲线方程为=1．（14分）
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．