Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1,AB=2，点E在棱AB上移动．

(Ⅰ)证明：D₁E⊥A₁D；

(Ⅱ)当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

(Ⅲ)AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E 

（Ⅱ）设点E到面ACD₁的距离为h,

在△ACD₁中，AC=CD₁=,AD₁=,

故=,

而S_△ACE=.

∴=S_△AEC·DD₁=,

∴×h,∴h=. 

（Ⅲ）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

∴∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角.

设AE=x,则BE=2-x

在Rt△D₁DH中，∵∠DHD₁=,∴DH=1.

∵在Rt△ADE中，DE=,∴在Rt△DHE中，EH=x,在Rt△DHC中CH=,在Rt△CBE中CE=.

∴x+. 

∴AE=2-时，二面角D₁-EC-D的大小为. 

解法二：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，

设AE=x,则A₁（1，0，1）,D₁(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)

(Ⅰ)因为=(1,0,1),(1,x-1)=0,所以. 

（Ⅱ）因为E为AB的中点，则E(1,1,0),从而=(1,1,-1), =(-1,2,0),=(-1,0,1),设平面ACD₁的法向量为n=(a,b,c),则

也即,从而n=(2,1,2),

所以点E到平面AD₁C的距离为

h=. 

(Ⅲ)设平面D₁EC的法向量n=(a,b,c),

∴=(1,x-2,0),=(0,2,-1),=(0,0,1),

由

令b=1,∴c=2,a=2-x,∴n=(2-x,1,2).

依题意cos.

∴x₁=2+（不合，舍去），x₂=2-.

∴AE=2-时，二面角D₁-EC-D的大小为.