Question

已知关于x的方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0,a∈R,求:

(1)方程有两个正根的充要条件;

(2)方程至少有一正根的充要条件.

Answer 1

解：方程有两个实根的充要条件是

即a≥10或a≤2且a≠1.

(1)设此方程的两个实数根为x₁、x₂,则方程有两个正根

解得1＜a≤2或a≥10.

∴1＜a≤2或a≥10是方程有两个正根的充要条件.

(2)①由(1)可知,当a≥10或1＜a≤2时,方程有两个正根;

②方程有一正根一负根的充要条件是

x₁x₂＜0＜0,即a＜1.

③当a=1时,方程可化为3x-4=0,有一正根x=.

综上①②③,可知方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10.