Question

设y=f（x）是一次函数，若f（0）=1且f（1），f（4），f（13）成等比数列，则f（2）+f（4）+…+f（2）=

3n+2n²

．

Answer 1

分析：由已知可以假设一次函数为y=kx+1，在根据f（1），f（4），f（13）成等比数列，得出k=3，再利用等差数列的求和公式求解即可．

解答：解：由已知可得，f（x）=kx+b，（k≠0），
∵f（0）=1=k×0+b，∴b=1．
∵f（1），f（4），f（13）成等比数列，且f（1）=k+1，f（4）=4k+1，f（13）=13k+1．
∴k+1，4k+1，13k+1成等比数列，即（4k+1）²=（k+1）（13k+1），
16k²+1+8k=13k²+14k+1，从而解得k=0（舍去），k=2，
f（2）+f（4）+…+f（2n）
=（2×2+1）+（4×2+1）+…+（2n×2+1）
=（2+4+…+2n）×2+n
=4×

n(n+1)

2

+n
=2n（n+1）+n
=3n+2n²，
故答案为3n+2n²．

点评：本题考查了等比数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．