题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．（1）求二面角A-PB-D的大小；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE．若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设AC交BD于O，作OF⊥PB于F，连接AF，则∠OFA是二面角A-PB-D的平面角，可得结论；
（2）当E是PB中点时，PC⊥平面ADE．取PC的中点H，连接EH，DH，可证结论成立．
（2）当E是PB中点时，PC⊥平面ADE．取PC的中点H，连接EH，DH，可证结论成立．
解答：
解：（1）设AC交BD于O，则
∵AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB
∴∠OFA是二面角A-PB-D的平面角
∵AB⊥PB，PA=
a，AB=a，PB=
a
∴AF=
=
a
∴sin∠OFA=
=
∴∠OFA=60°
∴二面角A-PB-D的平面角是60°；
（2）当E是PB中点时，PC⊥平面ADE．
证明：取PC的中点H，连接EH，DH，则EH∥BC
∴EH∥AD，故平面ADE即平面ADHE
∵AD⊥CD
∴AD⊥PC
∵PC⊥DH，AD∩DH=D
∴PC⊥平面ADHE
∴PC⊥平面ADE．
解：（1）设AC交BD于O，则∵AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB
∴∠OFA是二面角A-PB-D的平面角
∵AB⊥PB，PA=
| 2 |
| 3 |
∴AF=
| PA•AB |
| PB |
| ||
| 3 |
∴sin∠OFA=
| AO |
| AF |
| ||
| 2 |
∴∠OFA=60°
∴二面角A-PB-D的平面角是60°；
（2）当E是PB中点时，PC⊥平面ADE．
证明：取PC的中点H，连接EH，DH，则EH∥BC
∴EH∥AD，故平面ADE即平面ADHE
∵AD⊥CD
∴AD⊥PC
∵PC⊥DH，AD∩DH=D
∴PC⊥平面ADHE
∴PC⊥平面ADE．
点评：本题考查面面角，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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