Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实数）(a≤

1

2

)
（1）若 a=1，求函数的单调增区间；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）由a=1，将函数转化为分段函数，进而每一段转化为二次函数，用二次函数法求得每段的单调区间即可．
（2）受（1）的启发，用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于a不具体，要根据对称轴分类讨论．

解答：解：（1）：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=

x2+x+1，   x＜0 x2-x+1，    x≥0

∴f（x）的单增区间为：(-

1

2

，0)，(

1

2

，+∞)（5分）
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1
若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3．
若a≠0，则f（x）=a（x-

1

2a

）2+2a-

1

4a

-1，f（x）图象的对称轴是直线x=

1

2a

当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
当0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2．
当1＜

1

2a

＜2，即

1

4

≤a≤

1

2

时，g（a）=f（

1

2a

）=2a-

1

4a

-1
当2＜

1

2a

，即0＜a＜

1

4

时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
综上得g（a）=

6a-3，   0＜a＜ 1 4    2a- 1 4a -1， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，  a＞ 1 2

．

点评：本题主要考查分段函数，二次函数，考查求其单调区间，函数的最值，充分考查了分类讨论的方法、二次函数的图象与性质．