题目内容

已知球的半径为R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?
分析:由题意圆柱的底面为球的截面,由球的截面性质可得出圆柱的高为h、底面半径为r与球的半径为R的关系,再用h和r表示出圆柱的侧面积,利用基本不等式求最值即可.
解答:精英家教网解:如图为轴截面,令圆柱的高为h,
底面半径为r,侧面积为S,
则(
h
2
2+r2=R2
即h=2
R2-r2

∵S=2πrh=4πr•
R2-r2

=4π
r2•(R2-r2)

≤4π
(r2+R2-r2)2
2
=2πR2
取等号时,内接圆柱底面半径为
2
2
R,高为
2
R.
点评:本题考查球与圆柱的组合体问题、以及利用基本不等式求最值问题,难度一般.
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