题目内容

已知对于任意非零实数a和b，不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，试求实数x的取值范围．
由题知，|2+x|+|2-x|≤
|2a+b|+|2a-b|
|a|
恒成立，
故|2+x|+|2-x|不大于
|2a+b|+|2a-b|
|a|
的最小值（4分）
∵|2a+b|+||2a-b≥|2a+b+2a-b|=4|a|，
当且仅当（2a+b）（2a-b）≥0时取等号，∴
|2a+b|+|2a-b|
|a|
的最小值等于4．（8分）
∴x的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解．
解不等式得-2≤x≤2．（10分）
练习册系列答案
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已知对于任意非零实数a和b，不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，试求实数x的取值范围．
已知对于任意非零实数m，不等式|5m-3|+|3-4m|≥|m|（x-
2x
）恒成立，则实数x的取值范围是
（-∞，-1]∪（0，2]
（-∞，-1]∪（0，2]
．
选修4-5：不等式证明选讲
已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥m（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求实数x的取值范围．
（在给出的二个题中，任选一题作答．若多选做，则按所做的第A题给分）
（A）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线ρsin(θ-
π
4
)=
2
2
与圆ρ=2cosθ的位置关系是
相离
相离
．
（B）（不等式选讲）已知对于任意非零实数m，不等式|5m-3|+|3-4m|≥|m|(x-
2
x
)恒成立，则实数x的取值范围是
（-∞，-1]∪（0，2]
（-∞，-1]∪（0，2]
．
选修4-5：不等式选讲
已知对于任意非零实数m，不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|（|2x-3|-|x-1|）恒成立，求实数x的取值范围．

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