题目内容

设F1，F2是双曲线x2-
y2
4
=1的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0，且|
PF2
|=λ|
PF1
|，则λ的值为（　　）
分析：利用向量减法的定义，结合数量积的运算性质，将(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0化简得
|OP|
 =
|OF2|
 =c=
5
，从而得到△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，再由勾股定理和双曲线的定义建立方程组，解出
|PF1|
、
|PF2|
的值，从而得出λ的值．
解答：解：∵
F2P
=
OP
-
OF2

∴(
OP
+
OF2
)•
F2P
=(
OP
+
OF2
)•(
OP
-
OF2
)=0
即
OP
2=
OF2
2，得
|OP|
 =
|OF2|
 =c=
5

∴△PF1F2中，中线
|OP|
 =
1
2
|F2F2|
 ，得PF1⊥PF2，
由此可得
|PF1| 
2+
|PF2|
2=4c2=20
|
|PF1|
 -
|PF2|
 |=2a=2
，解之得
|PF1|
=4，
|PF2|
=2或
|PF1|
=2，
|PF2|
=4
∵点P在双曲线右支上，
∴
|PF1|
＞
|PF2|
，得
|PF1|
=4，
|PF2|
=2，结合|
PF2
|=λ|
PF1
|得λ=
1
2

故选B
点评：本题以向量为载体，求双曲线两条焦半径的比值，着重考查了双曲线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若
PF1
•
PF2
=0 且|
PF1
||
PF2
|=2ac（c=
a2+b2
），则双曲线的离心率为（　　）
A、
1+
5
2
B、
1+
3
2
C、2
D、
1+
2
2
（2010•宝山区模拟）双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一点(2，
3
)到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F1，F2是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面积；
（3）过（-2，0）作直线l交双曲线C于A，B两点，若
OP
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
设F1、F2是双曲线x2-
y224
=1的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于
24
24
．
（2013•许昌三模）设F1，F2是双曲线
x2
3
-y2=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，
PF1
•
PF2
的值为（　　）
设F1、F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O为坐标原点），且tan∠PF2F1=2，则双曲线的离心率为（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网