题目内容

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面AD₁⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，AA₁=2，A₁D= $数学公式$ ，E、F分别是BC、AC₁的中点．
（I）求证：EF∥平面AA₁B₁B；
（II）求二面角C-A₁C₁-D的大小．

（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于O，则O是AC的中点，
∴OF∥CC₁，CC₁∥BB₁，∴OF∥BB₁，又OE∥AB，
∴平面OEF∥平面AA₁B₁B，又EF?平面OEF，
∴EF∥平面AA₁B₁B．
（Ⅱ）解：∵AD=1，AA₁=2， $\text{[math]}$ ，∴△AA₁D是直角三角形，且A₁D⊥AD，
∵侧面AD₁⊥平面ABCD，∴A₁D⊥平面ABCD，可知DA₁、DA、DC两两垂直．

分别以DA₁、DA、DC为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
D（0，0，0），A（1，0，0）， $\text{[math]}$ ，C（0，1，0）， $\text{[math]}$ ，B（1，1，0），
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可得平面A₁C₁D的一个法向量 $\text{[math]}$ ，
设平面ACC₁A₁的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），
由 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
∴二面角C-A₁C₁-D的大小为 $\text{[math]}$ ．

分析：（Ⅰ）利用三角形中位线性质，证明线线平行，可得面面平行，从而可得线面平行；
（Ⅱ）证明DA₁、DA、DC两两垂直，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面A₁C₁D的一个法向量 $\text{[math]}$ ，平面ACC₁A₁的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），利用向量的夹角公式，即可求二面角C-A₁C₁-D的大小．
点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，正确运用向量法解决空间角问题．