Question

已知函数+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）试用含a的式子表示b，并求函数f（x）的单调区间；
（2）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂）为函数f（x）图象上不同两点，G（x₀，y₀）为AB的中点，记AB两点连线斜率为K，证明：f′（x₀）≠K

Answer 1

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=，
∴b=a-1，∴f′（x）=，
当f′（x）＞0时，得-，
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
当f′（x）＜0时，得-，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
；∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；

（2）因A、B在的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴，
假设k=f′（x₀），则得：，
即，
即，令，
∵，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，∴u（t）＜u（1）=0，
∴，所以假设k=f′（x₀）不成立，
故f′（x₀）≠k．
分析：（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，利用f′（1）=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；
（2）因为A与B在函数图象上，所以把A和B的坐标分别代入函数解析式中得到关于两点纵坐标的两个关系式，利用斜率的算法表示出斜率k，然后利用中点坐标公式根据A和B的横坐标表示出中点G的横坐标，并把求出的G横坐标的值代入导函数，利用反证法证明，方法是：假设表示出的斜率k等于G的横坐标在导函数的函数值，化简后令t=，u（t）=lnt-，求出u（t）的导函数，判断出导函数大于0得到u（t）为增函数，得到u（t）小于0与题意矛盾，所以假设错误，故f′（x₀）≠k．
点评：此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题．