题目内容

设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y）， $数学公式$ ，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；　　　　　　　　
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试判断函数的单调性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2．

解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
（2）令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），故函数f（x）是R上的奇函数
（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）是R上的增函数
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
又由y=f（x）是定义在R上的增函数，得 $\text{[math]}$
解之得 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）赋值令x=y=0，则可求f（0）的值；
（2）令y=-x，结合f（0）的值，可得结论；
（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．

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设函数y=f （x）是定义域为R的奇函数，且满足f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f （x）=x³，则下列四个命题：
①f（x）是以4为周期的周期函数．
②f（x）在[1，3]上的解析式为f （x）=（2-x）³．
③f（x）在(

))处的切线方程为3x+4y-5=0．
④f（x）的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是（　　）

A、①②③	B、②③④
C、①③④	D、①②③④

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(

)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

设函数y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，若g（x）=f（x）-2x在区间[2，3]上的值域为[-2，6]，则函数g（x）在[-12，12]上的值域为（　　）

设函数y=f（x）是定义在正实数上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求证：f（

）=f（x）-f（y）；
（2）若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则下列五个命题：
①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；
②当x∈[1，3]时，f（x）=（ x-2）³；
③直线x=±1是函数y=f（x）图象的对称轴；
④点（2，0）是函数y=f（x）图象的对称中心；
⑤函数y=f（x）在点（

））处的切线方程为3x-y-5=0．
其中正确的是

．（写出所有正确命题的序号）