Question

18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$		$\frac{7π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0			-5

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件求出ω和φ的值即可求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据函数的平移关系结合函数的对称性进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由表格得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{12}ω+φ=0}\\{\frac{7π}{12}ω+φ=π}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{ω=2}\\{φ=-\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，则对应的表格为：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	5	0	-5	0

f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（Ⅱ）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=5sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）
即y=g（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
即函数g（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，离原点O最近的对称中心为（-$\frac{π}{12}$，0）．

点评 本题主要考查五点法作图以及三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力．