Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=

3

．
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的大小．

Answer 1

分析：（I）连接AC₁交A₁C于点G，连接DG，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，则AC=GC₁，而AD=DB，则DG∥BC₁，DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，根据线面平行的判定定理可知BC₁∥平面A₁DC．
（II）过点D作DE⊥AC交AC于E，过点D作DF⊥A₁C交A₁C于F，连接EF，而平面ABC⊥面平ACC₁A₁，DE?平面ABC，平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
根据面面垂直的性质定理可知DE⊥平ACC₁A₁，则EF是DF在平面ACC₁A₁内的射影，则EF⊥A₁C，从而∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角，在直角三角形ADC中，求出DE、DF，即可求出∠DFE．

解答：（I）证明：连接AC₁交A₁C于点G，连接DG，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴AC=GC₁，
∵AD=DB，
∴DG∥BC₁（2分）
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．（4分）
（II）解：过点D作DE⊥AC交AC于E，过点D作DF⊥A₁C交A₁C于F，连接EF．
∵平面ABC⊥面平ACC₁A₁，DE?平面ABC，平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
∴DE⊥平ACC₁A₁．
∴EF是DF在平面ACC₁A₁内的射影．
∴EF⊥A₁C，
∴∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角，（8分）
在直角三角形ADC中，DE=

AD•DC

AC

=

3

4

．
同理可求：DF=

A1D•DC

A1C

=

39

8

．
∴sinDFE=

DE

DF

=

2 13

13

．
∴∠DFE∈(0，

π

2

)．
∴∠DFE=arcsin

2 13

13

．（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定定理以及二面角的求法．涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．