题目内容
8、已知三角形ABC，求作圆经过A及AB中点M，并与BC直线相切，已知：M为△ABC的AB的中点，求证：一个经过A、M两点且与BC直线相切的圆．
分析：设⊙O即为合于要求的圆（如图），因⊙O经过A、M两点且与直线BC相切于点P，这样，BP为⊙O的切线，BA为⊙O的割线，所以，应有BP2=BM•BA，而BM，BA均为已知，因此，BP的长度可以作出，由此可得点P，于是过A、M、P三点就可确定所求之圆，
解答：解：作法：（1）作线段A'B'M'，使A'B'=AB，B'M'=BM，
（2）以A'M'为直径作半圆，
（3）过B'作A'M'的垂线B'P'交半圆于点P'，
（4）在△ABC的边BC上截取BP=B'P'，
（5）经过A、M、P三点作⊙O即为所求．
证明：由作图可知B'P'2=A'B'•B'M'，A'B'=AB，B'M'=BM，
所以BP2=BM•BA，
即BP为⊙O的切线，BMA为其割线，
且⊙O经过A、M、P三点，
故⊙O适合所要求的条件．
（2）以A'M'为直径作半圆，
（3）过B'作A'M'的垂线B'P'交半圆于点P'，
（4）在△ABC的边BC上截取BP=B'P'，
（5）经过A、M、P三点作⊙O即为所求．
证明：由作图可知B'P'2=A'B'•B'M'，A'B'=AB，B'M'=BM，
所以BP2=BM•BA，
即BP为⊙O的切线，BMA为其割线，
且⊙O经过A、M、P三点，
故⊙O适合所要求的条件．
点评：此题主要考查作圆的知识点，会根据题中的条件作出符合要求的图形并证明其画图的正确性．
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