Question

已知函数f（x）=sin2x-2cos²x（x∈R） 
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和两角差的正弦公式，将函数f（x）化为y=Asin（?x+φ）型函数，再利用周期计算公式求其周期即可；
（II）先求内层函数的值域，再利用正弦函数的图象和性质计算函数f（x）的最大值及相应的x值即可

解答：解：（I）f（x）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π
（Ⅱ） 由x∈[0，

π

2

]，得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∴当2x-

π

4

=

π

2

即x=

3π

8

时，f（x）有最大值

2

-1

点评：本题主要考查了三角变换公式在三角化简和求值中的应用，y=Asin（?x+φ）型函数的图象和性质，属基础题