Question

已知函数f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x₀）的值．
（2）设函数h（x）=f（x）+g（x），若不等式|h（x）-m|≤1在[-

π

12

，

5π

12

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数对称轴的性质确定x₀的值，然后代入求值即可．
（2）求出函数h（x）=f（x）+g（x）的最值即可．

解答：解：（1）f（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos2(x+ π 12 )

2

=

1

2

+

1

2

cos(2x+

π

6

)，
由2x+

π

6

=kπ，k∈Z得所以函数的对称轴为x=

kπ

2

-

π

12

．
因为x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以x0=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z．
所以g(x0)=1+

1

2

sin2(

kπ

2

-

π

12

)=1+

1

2

sin(kπ-

π

6

)，
若k是偶数，则g(x0)=1+

1

2

sin(-

π

6

)=

3

4

，
若k是奇数，则g(x0)=1+

1

2

sin?(

5π

6

)=

5

4

．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

+

1

2

cos(2x-

π

12

)+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

sin(2x+

π

3

)．
因为x∈[-

π

12

，

5π

12

]，所以

π

6

≤2x+

π

3

≤

7π

6

，
所以

5

4

≤h(x)≤2，所以要使|h（x）-m|≤1恒成立，
即-1≤m-h（x）≤1，
所以h（x）-1≤m≤1+h（x）．
所以1≤m≤

9

4

．

点评：本题主要考查三角函数的化简以及倍角公式，辅助角公式的应用，综合性较强．