题目内容
平面内有向量| OA |
| OB |
| OP |
（1）当
| XA |
| XB |
| OX |
（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．
分析：（1）因为点X在直线OP上，向量
与
共线，可以得到关于
坐标的一个关系式，再根据
•
的最小值，求得
的坐标，
（2）cos∠AXB是
与
夹角的余弦，利用数量积的知识易解决．
| OX |
| OP |
| OX |
| XA |
| XB |
| OX |
（2）cos∠AXB是
| XA |
| XB |
解答：解：（1）设
=（x，y），
∵点X在直线OP上，∴向量
与
共线．
又
=（2，1），∴x-2y=0，即x=2y．
∴
=（2y，y）．又
=
-
，
=（1，7），
∴
=（1-2y，7-y）．
同样
=
-
=（5-2y，1-y）．
于是
•
=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y2-20y+12=5（y-2）2-8．
∴当y=2时，
•
有最小值-8，此时
=（4，2）．
（2）当
=（4，2），即y=2时，有
=（-3，5），
=（1，-1）．
∴|
|=
，|
|=
．
∴cos∠AXB=
=-
．
| OX |
∵点X在直线OP上，∴向量
| OX |
| OP |
又
| OP |
∴
| OX |
| XA |
| OA |
| OX |
| OA |
∴
| XA |
同样
| XB |
| OB |
| OX |
于是
| XA |
| XB |
∴当y=2时，
| XA |
| XB |
| OX |
（2）当
| OX |
| XA |
| XB |
∴|
| XA |
| 34 |
| XB |
| 2 |
∴cos∠AXB=
| ||||
|
|
4
| ||
| 17 |
点评：（1）中求最值问题可转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数；也可以利用
与
反向时，
•
有最小值进行求解．而（2）中即为数量积定义的应用．
| XA |
| XB |
| XA |
| XB |
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