Question

已知函数f（x）=e^x-k-x，（x∈R）．
（1）当k=0时，若函数的定义域是R，求实数m的取值范围；
（2）试判断当k＞1时，函数f（x）在（k，2k）内是否存在零点．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据分式函数定义域为R，则使分母不取不到0即可，转化成研究f（x）+m的最小值大于零，解出m即可．
（2）先研究函数在（k，2k）上的单调性，然后求f（k）与f（2k）并判定函数值的符号，根据零点存在性定理可得结论．
解答：解：（1）当k=0时，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1
∴f（x）在（-∞，0）上单调减，在[0，+∞）上单调增．
∴f（x）_min=f（0）=1，（5分）∵?x∈R，f（x）≥1?f（x）-1≥0成立，∴m＞-1（17分）
（2）当k＞1时，f′（x）=e^x-k-1＞0，在（k，2k）上恒成立．（9分）
∴f（x）在（k，2k）上单调增．（且连续）
且f（k）=e^k-k-k=1-k＜0，（10分）
f（2k）=e^2k-k-2k=e^k-2k∵f′（2k）=e^k-2＞0，f（x）在k＞1时单调增，
∴f（2k）＞e-2＞0（13分）
∴由零点存在定理知，函数f（x）在（k，2k）内存在零点．
点评：本题主要考查了函数的零点的问题，利用导数求闭区间上函数的最值问题，属于中档题．