Question

15、给出下列四个结论：
①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
③函数f（x）=x-sinx（x∈R）有3个零点；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确结论的序号是

①④

（填上所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”，可由命题的否定的书写规则进行判断；
②“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真，可由不等式的运算规则进行判断；
③函数f（x）=x-sinx（x∈R）有3个零点，可由函数的图象进行判断；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），可由函数单调性与导数的关系进行判断．

解答：解：①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”，此是一个正确命题；
②“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真，由于其逆命题是“若a＜b，则am²＜bm²”，当m=0时不成立，故逆命题为真不正确；
③函数f（x）=x-sinx（x∈R）有3个零点，由函数的图象知，此函数仅有一个零点，故命题不正解；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），由于两个函数是一奇一偶，且在x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，故当x＜0，，f′（x）＞g′（x），成立，此命题是真命题．
综上①④是正解命题
故答案为①④

点评：本题考查命题的否定，函数的单调性与导数的关系，及不等式关系的运算，涉及到的知识点较多，解题的关键是对每个命题涉及的知识熟练掌握，且能灵活运用它们作出判断．