Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分8分，第3小题满分7分．

已知函数定义在区间上，，对任意，

恒有成立，又数列满足，

设．

（1）在内求一个实数，使得；

（2）证明数列是等比数列，并求的表达式和的值；

（3）是否存在，使得对任意，都有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1），∴（3分）

（2），且
，即

∴是以为首项，为公比的等比数列，                    （2分）

∴.   （4分）       ∴.      （8分）

（3）（理）由（2）得，

∴，                              （1分）

则

∴是递减数列，∴，    （3分）

要使对任意恒成立，

只须，即，    （5分）

故  ，∴，或，

∴当，且时，对任意恒成立，

∴的最小正整数值为。                                   （7分）

（文）由（2）得，．（1分）

若对任意恒成立，即，恒成立 （3分）

∵，∴当时，有最大值4，故．                   （5分）

又，∴存在，使得对任意，有．所以.（7分）