Question

若函数y=kx²-4x+k-3对一切实数x都有y＜0，则实数k的取值范围是

 

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Answer 1

分析：因为函数y=kx²-4x+k-3对一切实数x都有y＜0所以函数y=kx²-4x+k-3的图象全部在x轴的下方．分k=0与k＜0两种情况讨论，显然k=0不符合题意，k＜0时，二次函数y=kx²-4x+k-3的图象全部在x轴的下方所以

k＜0 △=16-4k(k-3)＜0

解得k＜-1．

解答：解：∵函数y=kx²-4x+k-3对一切实数x都有y＜0
∴函数y=kx²-4x+k-3的图象全部在x轴的下方
①当k=0时函数y=-4x-3显然此时函数的图象不全部在x轴的下方
所以k=0不符合题意
②当k≠0时原函数是二次函数
∵函数y=kx²-4x+k-3对一切实数x都有y＜0
∴二次函数y=kx²-4x+k-3的图象全部在x轴的下方
所以

k＜0 △=16-4k(k-3)＜0

解得k＜-1
由①②可得实数k的取值范围是 （-∞，-1）．
故答案为：（-∞，-1）．

点评：解决此类题目的关键是先讨论函数是什么样的函数，一次还是二次，在利用函数独有的性质进行解题，而对于二次函数恒成立问题解决的关键是注意开口方向与△即可．