题目内容

如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东14
2
海里处．
（Ⅰ）求此时该外国船只与D岛的距离；
（Ⅱ）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．
分析：（Ⅰ）由题意可得，AB=16，AD=14
2
，∠BAD=45°，△ABD中，由余弦定理求解得BD的值，即为所求．
（Ⅱ）过点B作BH⊥AD，H为垂足，AH和以点D为圆心、以12为半径的圆相交于点C，则由题意可得，我海监船在点C处拦截住外国船只时，我海监船的速度
v取得最小值．求得AH=BH、DH的值，再求得CH、AC、BC的值，可得外国船只沿正南方向航行的时间，从而求得我海监船的速度v，由tan∠CAH=
CH
AH
求得∠CAH 的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得，AB=16，AD=14
2
，∠BAD=45°，
△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠BAD
=162+(14
2
)2-32×14
2
×
2
2
，
解得BD=200（海里），即该外国船只与D岛的距离为10
2
海里．
（Ⅱ）过点B作BH⊥AD，H为垂足，AH和以点D为圆心、以12为
半径的圆相交于点C，
则由题意可得，我海监船在点C处拦截住外国船只时，我海监船的
速度v取得最小值．
由于AB=16，∠BAD=45°，CD=12，AD=14
2
，∴AH=BH=8
2
，DH=6
2
．
由勾股定理求得CH=
CD2-DH2
=6
2
，∴AC=
AH2+CH2
=10
2
，BC=BH-CH=8
2
-6
2
=2
2
，
故外国船只沿正南方向航行的时间为
2
2
4
=
2
2
，故我海监船的速度v=
AC
2
2
=20（小时）．
此时，由tan∠CAH=
CH
AH
=
6
2
8
2
=
3
4
可得∠CAH=arctan
3
4
，即我海监船的航向为东偏北arctan
3
4
弧度．
点评：本题主要考查解三角形的实际应用，直角三角形中的边角关系、余弦定理的应用，属于难题．
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