Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S（0，

1

3

）的动直线L交椭圆C于A、B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

x-y+b=0 y2=4x

消去y，得：x²+（2b-4）x+b²=0，因直线y=x+b与抛物线y²=4x相切，b=1．圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2，当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1．由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

，解得两圆公共点（0，1）．因此所求的点T如果存在，只能是（0，1）．由此能够导出以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．

解答：解：（Ⅰ）由

x-y+b=0 y2=4x

消去y，得：x²+（2b-4）x+b²=0，
因直线y=x+b与抛物线y²=4x相切，∴△=（2b-4）²-4b²，∴b=1．…（2分）
∵圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴a=

2

b=

2

，…（4分）
故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2，
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1
由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

，
即两圆公共点（0，1）因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）…（7分）
（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：y=kx-

1

3

．
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，消去y得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，
记点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

，…（9分）
∵

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)，
∴

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1 x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16k

18k2

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0．
∴TA⊥TB，…（11分）
综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．           …（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．