题目内容
（2012•宁城县模拟）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过点M(1，
)，其离心率为
，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 设直线l的斜率为k，且经过椭圆C的右焦点F，与C交于A，B两点，点P满足
=
+
，试判断是否存在这样的实数k，使点P在椭圆C上，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 设直线l的斜率为k，且经过椭圆C的右焦点F，与C交于A，B两点，点P满足
| OP |
| OA |
| OB |
分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率为
，可得3a2=4b2，利用点M(1，
)在椭圆C上，可得
+
=1，由此可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）与椭圆方程联立，消元，利用
=
+
，确定坐标之间的关系，利用韦达定理，可得P的坐标，设P在椭圆C上，利用椭圆方程，即可得到结论．
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| a2 |
| 9 |
| 4b2 |
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）与椭圆方程联立，消元，利用
| OP |
| OA |
| OB |
解答：解：（Ⅰ）由已知可得e2=
=
，所以3a2=4b2①
又点M(1，
)在椭圆C上，所以
+
=1②
由①②解之，得a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为
+
=1．…（5分）
（Ⅱ） 椭圆C的右焦点F（1，0），设直线l的方程为y=k（x-1）
则由
消y化简整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0------（7分）
设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），则
∵
=
+
∴x0=x1+x2=
，y0=y1+y2=k(x1+x2)-2k=-
．-------------（9分）
设P在椭圆C上，所以
+
=1．
从而
+
=1，化简得4k2=3+4k2，无解
所以不存在这样的实数k，使点P在椭圆C上------------------------------------------------（12分）
| a2-b2 |
| a2 |
| 1 |
| 4 |
又点M(1，
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| a2 |
| 9 |
| 4b2 |
由①②解之，得a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ） 椭圆C的右焦点F（1，0），设直线l的方程为y=k（x-1）
则由
|
设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），则
∵
| OP |
| OA |
| OB |
∴x0=x1+x2=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 6k |
| 3+4k2 |
设P在椭圆C上，所以
| ||
| 4 |
| ||
| 3 |
从而
| 16k4 |
| (3+4k2)2 |
| 12k2 |
| (3+4k2)2 |
所以不存在这样的实数k，使点P在椭圆C上------------------------------------------------（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，确定P的坐标是关键．
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