题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（ II）若PC= $数学公式$ ，求三棱锥C-ABE高的大小．

解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，
∴AC=BC= $\text{[math]}$ ，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）由PC= $\text{[math]}$ ，知△PBC为等腰直角三角形，则S_△BCE= $\text{[math]}$ S_△PBC= $\text{[math]}$ ，
由（Ⅰ）知，AC为三棱锥A-BCE高．
∵Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，PA=PB=AB=2，
∴S_△ABE= $\text{[math]}$ S_△PAB= $\text{[math]}$ ，
设三棱锥C-ABE的高为h，
则 $\text{[math]}$ S_△ABE•h= $\text{[math]}$ S_△BCE•AC，即 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ h= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
∴h= $\text{[math]}$ ，
∴三棱锥C-ABE的高等于 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由题意可得AC⊥PC，由AC²+BC²=AB²，可求得AC⊥BC，从而有AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证得平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）由PC= $\text{[math]}$ ，知△PBC为等腰直角三角形，又AC为三棱锥A-BCE高，设三棱锥C-ABE的高为h，由S_△ABE•h=S_△BCE•AC即可求得h．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查点、线、面间的距离计算，突出几何体体积轮换公式的考查与应用，属于中档题．