题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2| 2 |
（1）求证：平面ABC⊥平面APC
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为
2
| ||
| 3 |
分析：（1）证明平面ABC⊥平面APC，利用线面垂直证明，即证OP⊥平面ABC；
（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示点与向量，求出平面PBC的法向量
=(
，
，1)，利用向量的夹角公式，即可得到直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）平面PAC的法向量
=
=(2，0，0)，求出平面PAM的法向量，利用二面角M-PA-C的余弦值为
，可得n+2=
m，从而可求B点到AM的最小值．
（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示点与向量，求出平面PBC的法向量
| n1 |
| 3 |
| 3 |
（3）平面PAC的法向量
| n2 |
| OB |
2
| ||
| 3 |
|
解答：
（1）证明：取AC中点O，因为AP=BP，所以OP⊥OC
由已知，可得△ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，∴OP⊥OB
∵OB∩OC=O
∴OP⊥平面ABC，
∵OP?平面PAC，∴平面ABC⊥平面APC（4分）
（2）解：以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2
），（5分）
∴
=(0，2，2
)，
=(m，n+1，0)
设平面PBC的法向量
，
由
得方程组
，取
=(
，
，1)（6分）
∴cos＜
，
＞=
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
． （8分）
（3）解：由题意平面PAC的法向量
=
=(2，0，0)，
设平面PAM的法向量为
=(x，y，z)，M=（m，n，0）
∵
=（0，2，2
），
=（m，n+2，0），
•
=0，
•
=0
∴
取y=-1，可得
=(
，-1，
)
∴cos＜
，
＞=
=
∴n+2=
m（11分）
∴BM的最小值为垂直距离d=
． （12分）
（1）证明：取AC中点O，因为AP=BP，所以OP⊥OC 由已知，可得△ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，∴OP⊥OB
∵OB∩OC=O
∴OP⊥平面ABC，
∵OP?平面PAC，∴平面ABC⊥平面APC（4分）
（2）解：以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2
| 3 |
∴
| AP |
| 3 |
| AM |
设平面PBC的法向量
|
由
|
|
| n1 |
| 3 |
| 3 |
∴cos＜
| AP |
| n1 |
| ||
| 7 |
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
| ||
| 7 |
（3）解：由题意平面PAC的法向量
| n2 |
| OB |
设平面PAM的法向量为
| n3 |
∵
| AP |
| 3 |
| AM |
| AP |
| n3 |
| AM |
| n3 |
∴
|
取y=-1，可得
| n3 |
| n+2 |
| m |
| ||
| 3 |
∴cos＜
| n2 |
| n3 |
| ||||||
2
|
2
| ||
| 3 |
∴n+2=
|
∴BM的最小值为垂直距离d=
8
| ||||
| 35 |
点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查平面法向量的求解，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确求出平面的法向量．
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