Question

如图，ABCD和ABEF都是边长为1的正方形，AM=FN，现将两个正方形沿AB折成一个直二面角，O∈AB，平面MON∥平面CBE．

（1）求角MON大小；
（2）设AO=x，当x为何值时，三棱锥A-MON的体积V最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中平面MON∥平面CBE，ABCD和ABEF都是边长为1的正方形，我们易得MO⊥AB，ON⊥AB，则∠MON是二面角C-AB-E的平面角，由两个正方形沿AB折成一个直二面角，可得角MON大小；
（2）由MO=AO=x，ON=1-x，AO⊥平面MON，我们易构造出三棱锥A-MON的体积V的表达式，利用导数法，我们判断出函数的单调性进而可以求出函数的最大值．

解答：解：（1）∵平面MON∥平面CBE
∴MO∥BC，ON∥BE
从而MO⊥AB，ON⊥AB
∴∠MON是二面角C-AB-E的平面角
∴∠MON=90°…6分；
（2）∵MO=AO=x，ON=1-x，AO⊥平面MON
∴V=

1

3

•

1

2

x•（1-x）•x=

1

6

（-x³+x²）（0＜x＜1）…4分
则V′=-

1

2

x（x-

2

3

）
∵0＜x＜

2

3

时，V′＞0，

2

3

＜x＜1时，V′＜0…2分
∴当x=

2

3

时，V取得极大值，极大值为

2

81

即当x=

2

3

时，V有最大值为

2

81

…2分

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，利用导数求闭区间上函数的最值，其中（1）的关键是确定出∠MON是二面角C-AB-E的平面角，（2）的关键是构造出三棱锥A-MON的体积V的表达式．