Question

5、在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，当底面四边形ABCD满足条件

AC⊥BD或四边形ABCD为菱形

时，有A₁C⊥B₁D₁．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

Answer 1

分析：由假设A₁C⊥B₁D₁，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A₁C₁⊥B₁D₁，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．

解答：解：若A₁C⊥B₁D₁，由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱
AA₁⊥B₁D₁，易得B₁D₁⊥平面AA₁BB₁，
则A₁C₁⊥B₁D₁，即AC⊥BD
则四边形ABCD为菱形
故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形

点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，三垂线定理，线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．