Question

已知正项数列{a_n}的前项和为S_n，且满足S_n+a_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设cn=

1

an

，则是否存在数列{b_n}，满足b1c1+b2c2+…+bncn=(2n-1)2n+1+2对一切正整数n都成立？若存在，请求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，由条件S_n+a_n=1求出首项，当n≥2时，S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，两式相减得到2a_n=a_n-1，可得数列是
公比为

1

2

的等比数列．
（2）因为cn=

1

an

，所以cn=2n，若存在满足题意的数列{b_n}，则b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1=(2n-3)2n+2(n≥2)，两式相减，得到b_n=2n+1（n≥2）．
经检验，首项也满足，从而求得通项公式．

解答：解：（1）当n=1时，S₁+a₁=1，故a1=

1

2

．---------（2分）
当n≥2时，S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，两式相减得到2a_n=a_n-1，所以数列{a_n}为首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
所以an=(

1

2

)n．------（7分）
（2）因为cn=

1

an

，所以cn=2n，若存在满足题意的数列{b_n}，
则b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1=(2n-3)2n+2(n≥2)，
两式相减，得到b_n=2n+1（n≥2）．------（12分）
由b₁•c₁=6，得到b₁=3，满足上式．所以，存在满足题意的数列{b_n}，
通项公式为bn=2n+1(n∈N*)．-------（14分）

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，属于基础题．