Question

四棱锥P-ABCD的三视图如图所示．
（1）在四凌锥中，E为线段PD的中点，求证：PB∥平面AEC；
（2）在四凌锥中，F为线段PA上的点，且

PF

FA

=λ，则λ为何值时，PA⊥平面DBF？并求此时几何体F-BDC的体积．

Answer 1

分析：（1）根据题中的三视图作出四棱锥P-ABCD的直观图，设AC、BD交点为O，连结OE，利用三角形中位线定理证出OE∥PB，再由线面平行判定定理，即可，证出PB∥平面AEC；
（2）过O作OF⊥PA于F，根据题中数据在Rt△POA中算出PF=

1

2

，AF=

3

2

，从而得出λ=

PF

FA

=

1

3

．由线面垂直判定定理，证出PA⊥平面BFD．作FH∥PO交AO于H，可得FH⊥平面BCD，由λ=

1

3

算出FH的长，利用锥体的体积公式加以计算，即可得出此时几何体F-BDC的体积．

解答：解：（1）根据题中的三视图，作出四棱锥P-ABCD的直观图，如图所示．
连结AC、BD，设AC、BD交点为O，连结OE
∵OE是△PBD的中位线，∴OE∥PB，
∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；
（2）过O作OF⊥PA于F，
在Rt△POA中，PO=1，AO=

3

，PA=2
∴PF=

PO2

PA

=

1

2

，AF=

3

2

，λ=

PF

FA

=

1

3

∵PA⊥BD，BD∩FO=O，∴PA⊥平面BFD．
当

PF

FA

=

1

3

时，在△PAO中作FH∥PO，交AO于H，则FH⊥平面BCD，
∵FH∥PO，得FH=

3

4

PO=

3

4

，
∴三棱锥F-BDC的体积V=

1

3

S△BCD•FH=

1

3

×

3

×

3

4

=

3

4

．

点评：本题给出几何体的三视图，求证几何体中线面平行并求锥体的体积．着重考查了线面平行判定定理、线面垂直的判定与性质和锥体体积求法等知识，属于中档题．