题目内容

以下结论正确的有
②③
②③
（写出所有正确结论的序号）
①函数y=
1
x
在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数；
②对于函数f（x）=-x2+1，当x1≠x2时，都有
f(x1)+f(x2)
2
＜f（
x1+x2
2
）；
③已知幂函数的图象过点（2，2 
3
5
），则当x＞1时，该函数的图象始终在直线y=x的下方；
④奇函数的图象必过坐标原点．
分析：①利用分式函数的单调性判断．②利用凸凹函数的性质判断．③利用幂函数的性质判断．④利用奇函数的定义和性质判断．
解答：解：①根据函数单调性的定义可知，函数y=
1
x
在（-∞，0）和（0，+∞）上是减函数，∴①错误．
②由凸凹函数的定义可知，满足
f(x1)+f(x2)
2
＜f（
x1+x2
2
）的函数为凸函数，由函数图象可知f（x）=-x2+1，为凸函数，满足条件，∴②正确．
③设幂函数f（x）=xα，则f（2）=2α=2 
3
5
，解得α=
3
5
，∴f（x）=x 
3
5
，当x＞1时，x 
3
5
＜x，∴③正确．
④奇函数的图象关于原点对称，但当定义域内不含x=0时，奇函数的图象不过原点，∴④错误．
故答案为：②③．
点评：本题主要考查函数的有关性质的应用，要求熟练掌握函数的基本性质．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2）和实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）＜λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f∥（x）＞0成立（f∥（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有
①④
①④
．
①f（x）=
2x+2014
3x+7
，x∈[0，2014]是严格下凸函数．
②设x1，x2∈（0，
π
2
）且x1≠x2，则有tan(
x1+x2
2
)＞
1
2
(tanx1+tanx2)
③若f（x）是区间I上的严格下凸函数，对任意x0∈I，则都有f（x）＞f′（x0）（x-x0）+f（x0）
④f（x）=
1
6
x3+sinx，（x∈（
π
6
，
π
3
））是严格下凸函数．
以下结论正确的有
②③⑤
②③⑤
（写出所有正确结论的序号）
①函数y=
1
x
在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数；
②对于函数f（x）=-x2+1，当x1≠x2时，都有
f(x1)+f(x2)
2
＜f(
x1+x2
2
)；
③已知幂函数的图象过点(2，2
3
5
)，则当x＞1时，该函数的图象始终在直线y=x的下方；
④奇函数的图象必过坐标原点；
⑤函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，则f（x）在R上为增函数．
以下结论正确的有（    ）

（1）如果一事件发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生；

（2）如果一事件发生的机会达到99.5%，那么它就必然发生；

（3）如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生；

（4）如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生.

A.0个                 B.1个                C.2个                D.3个

设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2）和实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）＜λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f∥（x）＞0成立（f∥（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有______．
①f（x）=
2x+2014
3x+7
，x∈[0，2014]是严格下凸函数．
②设x1，x2∈（0，
π
2
）且x1≠x2，则有tan(
x1+x2
2
)＞
1
2
(tanx1+tanx2)
③若f（x）是区间I上的严格下凸函数，对任意x0∈I，则都有f（x）＞f′（x0）（x-x0）+f（x0）
④f（x）=
1
6
x3+sinx，（x∈（
π
6
，
π
3
））是严格下凸函数．

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