Question

已知抛物线C₁、椭圆C₂和双曲线C₃在x轴上有共同的焦点，且三条曲线都经过点M（1，2），C₁的顶点为坐标原点，C₂、C₃的对称轴是坐标轴．
（1）求这三条曲线的方程
（2）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线C₁于A、B两点，问是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线的方程y²=2px（p＞0），代入M（1，2）得p=2，C₁方程y²=4x（2分）
椭圆C₂和双曲线C₃焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），c=1
对于椭圆C₂：2a=|MF1|+|MF2|=2+2

2

，a=1+

2

，b2=2+2

2

，
得C₂方程：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1（4分）
对于双曲线C₃：2a=||MF1|-|MF2||=2

2

-2，a=

2

-1，b2=2

2

-2，
得C₃方程：

x2

3-2 2

-

y2

2 2 -2

=1（6分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），以AP为直径的圆的圆心为(

x1+3

2

，

y1

2

)，
设存在符合条件的直线l′：x=n，圆心到l′的距离为d=|

x1+3

2

-n|，
所以l′被以AP为直径的圆截得的弦长为2

( 1 2 |AP|)2-( x1+3 2 -n)2

=2

1 4 ((x1-3)2+y12)-( x1+3 2 -n)2

=2

-2x1+n(x1+3)-n2

=2

(n-2)x1+3n-n2

，（10分）
当n=2时，即l′方程x=2，弦长为定值2

2

（12分）