Question

（2013•永州一模）若函数f（x）=

3

sin^₂x+2cos²x+m在R上的最大值为5，
（1）求m的值；
（2）求y=f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角公式以及两角和与差公式化简函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1+m，进而得出2+1+m=5，即可求出m的值．
（2）令 

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，求得x的范围，即可求得函数的单调减区间．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sin^₂x+2cos²x+m=

3

sin^₂x+cos^₂x+1+m=2sin（2x+

π

6

）+1+m       …（4分）
∴f（x）max=2+1+m=5
故 m=2                                          …（6分）
（2）由（1）可知 f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3
则 

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，
解得 kπ+

π

6

≤x≤

2π

3

+kπ                              …（10分）
所以，函数y=f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，

2π

3

+kπ]（k∈Z）   …（12分）

点评：本题考查三角恒等变换及化简求值，三角函数的最值、单调性，属于中档题．