题目内容

函数y=f（x）满足f（3+x）=f（1-x），且x₁，x₂∈（2，+∞）时， $数学公式$ ＞0成立，若f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2）对θ∈R恒成立．
（1）判断y=f（x）的单调性和对称性；
（2）求m的取值范围．

解：（1）由f （3+x）=f （1-x），可得f （2+x）=f（2-x），
∴y=f （x）的对称轴为x=2．…
当2＜x₁＜x₂时，f （x₁）＜f （x₂）；当2＜x₂＜x₁时，f （x₂）＜f （x₁）．
∴y=f （x）在（2，+∝）上为增函数，在（-∞，2）上为减函数．…
（2）由f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2），可得|cos²θ+2m²|＜|sinθ+m²-3m-4|，
即m²-3m-4+sinθ＞cos²θ+2m²（i），或m²-3m-4+sinθ＜-cos²θ-2m²（ii）恒成立．…
由（i）得m²+3m+4＜-cos²θ+sinθ=（sinθ+ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ 恒成立，∴m²+3m+4＜- $\text{[math]}$ ，
故 4m²+12m+21＜0恒成立，m无解．…
由（ii）得3m²-3m-4＜-cos²θ-sinθ=（sinθ- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ 恒成立，可得3m²-3m-4＜- $\text{[math]}$ ，
即 12m²-12m-11＜0，解得 $\text{[math]}$ ＜m＜ $\text{[math]}$ ．…
分析：（1）由条件可得y=f （x）的对称轴为x=2，当2＜x₁＜x₂时，f （x₁）＜f （x₂）；当2＜x₂＜x₁时，f （x₂）＜f （x₁），由此可得结论．
（2）由f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2），可得|cos²θ+2m²|＜|sinθ+m²-3m-4|，即m²-3m-4+sinθ＞cos²θ+2m²（i），或m²-3m-4+sinθ＜-cos²θ-2m²（ii）恒成立．由（i）得求得m的范围，由（ii）求得m的范围，再把这2个m的范围取并集，即得所求．
点评：本题主要函数的单调性的判断和证明，函数的恒成立问题，属于基础题．