题目内容

已知斜率为-2的直线与椭圆 $数学公式$ 交于A，B两点，且线段AB的中点为 $数学公式$ ．直线l₂与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O为坐标原点，且 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求λ的值；
（3）求m的取值范围．

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴两式相减得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ =0，即 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
所以椭圆C的方程为2x²+y²=1．
（2）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），l₂：y=kx+m（∵l₂与y轴相交，∴l₂的斜率存在）．
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，将①代入②得（λ-3）m=0，
∵m≠0，∴λ=3．
（3）将y=kx+m代入2x²+y²=1，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0．
∵λ=3，
∴由 $\text{[math]}$ 消去x₃、x₄得， $\text{[math]}$ ．
由△＞0得k²＞2（m²-1），即 $\text{[math]}$ 2（m²-1），即 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
所以m的取值范围为 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）平方差法：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程作差，据中点坐标公式、直线斜率公式即可求得a²值；
（2）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），l₂：y=kx+m，由 $\text{[math]}$ ，用横坐标表示出来即可求得λ值；
（3）将直线l₂的方程与椭圆方程联立消y，由（2）的结论及韦达定理可得k，m的关系式，再由△＞0消掉k即可求得m的取值范围；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理、判别式是解决该类问题的基础知识，应熟练掌握，涉及弦中点问题常考虑“平方差法”．