Question

将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为α（0°＜α＜180°），则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   与α的值有关的数

Answer 1

C
分析：由题意可知，AC的中点就是外接球的球心，三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小，就是球的半径最小，就是AC最短，利用长方形的面积求出AC的最小值即可．
解答：将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为α（0°＜α＜180°），则三棱锥D-ABC的外接球的球心就是AC 的中点，三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小，就是球的半径最小，就是AC最短，由题意可设长方形的长为：a，宽为：b，所以ab=2，AC=≥=2，此时a=b=，AC=2，球的半径为：1，
三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是：．
故选C
点评：本题是基础题，考查球的内接多面体，确定体积的求法，本题的关键是确定球心，基本不等式的应用，考查转化思想，计算能力．