题目内容
将2006表示成5个正整数之和. 记. 问:
(1) 当取何值时,S取到最大值;
(2) 进一步地,对任意有,当取何值时,S取到最小值. 说明理由.
解析: (1) 首先这样的S的值是有界集,故必存在最大值与最小值。 若, 且使 取到最大值,则必有
(*)
事实上,假设(*)不成立,不妨假设。则令,,()
有,。将S改写成
同时有 。于是有。这与S在时取到最大值矛盾。所以必有 . 因此当取到最大值。
(2)当且时,只有
(I) 402, 402, 402, 400, 400;
(II) 402, 402, 401, 401, 400;
(III) 402, 401, 401, 401, 401;
三种情形满足要求。
而后面两种情形是在第一组情形下作,调整下得到的。根据上一小题的证明可以知道,每调整一次,和式 变大。 所以在情形取到最小值。
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