Question

已知点P在曲线y=

4

ex+1

上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（　　）

• A、[0，

  π

  4

  ）
• B、[

  π

  4

  ，

  π

  2

  )
• C、(

  π

  2

  ，

  3π

  4

  ]
• D、[

  3π

  4

  ，π)

Answer 1

分析：利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．

解答：解：因为y′=

4′•(ex+1)-4(ex+1)′

(ex+1)2

=

-4ex

(ex+1)2

=

-4

ex+2+e-x

，
∵ex+e-x≥2

ex•e-x

=2，
∴e^x+e^-x+2≥4，
∴y′∈[-1，0）
即tanα∈[-1，0），
∵0≤α＜π
∴

3π

4

≤α＜π
故选D．

点评：本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．