Question

4、已知α．β是平面，m．n是直线，给出下列命题
①若m⊥α，m∥β，则α⊥β
②如果m⊥α，m⊥β，则α∥β
③如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n不与α相交．
④若α∩β=m，n∥m且n?α，n?β，则n∥α且n∥β．
其中真命题的个数是（　　）

A、1

B、2

C、3

D、4

Answer 1

分析：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β，可由面面垂直定理进行判断；
②如果m⊥α，m⊥β，则α∥β，由面面平行的条件进行判断；
③如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n不与α相交，由线面位置关系判断．
④若α∩β=m，n∥m且n?α，n?β，则n∥α且n∥β，由线面平行的条件判断．

解答：解：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β，此命题正确，因为由m∥β可得β内存在一条直线l与m平行，又m⊥α，可得l⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β；
②如果m⊥α，m⊥β，则α∥β，此命题正确，因为垂直于同一直线的两个平面平行；
③如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n不与α相交，此命题不正确，因为在题设条件下，n与α相交，且交点不在直线m上，可以保证m，n是异面直线．
④若α∩β=m，n∥m且n?α，n?β，则n∥α且n∥β此命题正确，因为由线面平行的判定定理知，面外一条直线与面内一条直线平行，可得此线与面平行．
综上，正确命题有三个
故选C

点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解答本题关键是熟练掌握线面间位置关系的判断条件以及较好的空间想像能力．本题考查了推理论证的能力．