Question

已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+

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x2+(b-3)x．
（I）当0＜a＜1且，f′（1）=0时，求f（x）的单调区间；
（II）已知f′(3)≤

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且对|x|≥2的实数x都有f'（x）≥0．若函数y=f′（x）有零点，求函数y=f（x）与函数y=f′（x）的图象在x∈（-3，2）内的交点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+

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x²+（b-3）x可求得f′（x）=

x2+bx+a

x+3

（x＞-3），由f′（x）＞0可求其递增区间，由f′（x）＜0可求其递减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f′（3）≤

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⇒a≤-3b-8，|x|≥2且x＞-3，有f′（x）≥0，从而可判断y=f′（x）的零点在[-2，2]内，设g（x）=x²+bx+a，由

g(2)≥0 g(-2)≥0 -2≤- b 2 ≤2 b2-4a≥0

可求得b=-4，a=4，于是得f（x）=25ln（x+3）+

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x²-7x，构造函数φ（x）=f（x）-f′（x），利用导数法可求得φ（x）与x轴有唯一交点，继而求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（-3，+∞），…1′
f′（x）=

x2+bx+a

x+3

（x＞-3），由f′（1）=0⇒b=-a-1，
故f′（x）=

(x-1)(x-a)

x+3

…3′
∵0＜a＜1，
∴由f′（x）＞0得-3＜x＜a或x＞1，
∴f（x）的单调递增区间为（-3，a），（1，+∞），
同理由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（a，1），…5′
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f′（3）≤

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⇒a≤-3b-8①
又由|x|≥2且x＞-3，有f′（x）≥0，
∴y=f′（x）的零点在[-2，2]内，设g（x）=x²+bx+a，
则

g(2)≥0 g(-2)≥0 -2≤- b 2 ≤2 b2-4a≥0

⇒

a≥-4-2b a≥2b-4 -4≤b≤4 b2≥4a

，结合①解得b=-4，a=4，
∴f（x）=25ln（x+3）+

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x²-7x…9′
又设φ（x）=f（x）-f′（x），
∵φ′（x）=

(x-2)2

x+3

+

25

(x+3)2

-1，由-3＜x＜2得0＜（x+3）²＜25，
故φ′（x）＞0，φ（x）在（-3，2）上单调递增，又φ（-2）=0，故φ（x）与x轴有唯一交点，
∴函数y=f（x）与函数y=f′（x）的图象在x∈（-3，2）内的交点坐标为（-2，16）…12′

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用f（x）的导数法分析得到，y=f′（x）的零点在[-2，2]内是关键，突出构造函数与函数与方程的思想的考查，属于难题．