Question

已知k∈R，当k的取值变化时，关于x，y的方程4kx-4y=4-k²的直线有无数条，这无数条直线形成了一个直线系，记集合M={（x，y）|4kx-4y=4-k²仅有唯一直线}．
（1）求M中点（x，y）的轨迹方程；
（2）设P={（x，y）|y=2x+a，a为常数}，任取C∈M，D∈P，如果|CD|的最小值为

5

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由题意易知，k²+4kx-4（y+1）=0仅有唯一解，利用△=16x²+16（y+1）=0，可求M中点（x，y）的轨迹方程；
（2）设直线y=2x+C与轨迹M相切，两方程联立，求出直线方程，利用|CD|的最小值为

5

，根据点到直线的距离公式，即可求a的值．

解答：解（1）由题意易知，k²+4kx-4（y+1）=0仅有唯一解，
∴△=16x²+16（y+1）=0，
∴所求的轨迹方程为x²+y+1=0．…..…（3分）
（2）设直线y=2x+C与轨迹M相切，则
由

y=2x+C x2+y+1=0

，消y可得x²+2x+C+1=0，
∴△=4-4（C+1）=0，即C=0，∴y=2x，
∵|CD|的最小值为

5

，
∴

|a|

5

=

5

⇒a=±5．…（10分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．