Question

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中0＜a＜b．
（1）设f（x）在x=s和x=t处取得极值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b；
（2）设A（s，f（s）），B（t，f（t）），求证：线段AB的中点C在曲线y=f（x）上；
（3）若a+b＜2

2

，求证：过原点且与曲线y=f（x）相切的两条直线不可能垂直．

Answer 1

分析：（1）根据函数的极值点出导数为0，知，极值点是导数等于零的根，所以先求导，再解导数等于零，两根为s，t，再判断x=a，b时导数的正负，比较大小即可．
（2）求出AB的中点坐标，再代入y=f（x），判断是否成立即可．
（3）如果两条切线互相垂直，则斜率乘积等于-1，所以要证两条切线不可能垂直，只需证明它们斜率之积不等于-1即可，利用曲线的切线斜率是该点处的导数来计算．

解答：解：（1）f（x）=x³-（a+b）x²+abx，∴f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab=0的两根为s，t，
令f'（x）=g（x），∵0＜a＜b，∴g（0）=ab＞0，g（a）=a（a-b）＜0，g（b）=b（b-a）＞0，
故有0＜s＜a＜t＜b．
（2）设AB中点C（x₀，y₀），则x0=

s+t

2

，y0=

f(s)+f(t)

2

，
故有s+t=

2(a+b)

3

，st=

ab

3

，∴x0=

a+b

3

，f(s)+f(t)=(s3+t3)-(a+b)(s2+t2)+ab(s+t)=-

4

27

(a+b)3+

2

3

ab(a+b)．
∴y0=-

2

27

(a+b)3+

1

3

ab(a+b)．
代入验算可知C在曲线y=f（x）上．
（3）过曲线上的点（x₁，y₁）的切线的斜率是3₁x²-2（a+b）x₁+ab，
当x₁=0时，切线的斜率k₁=ab；
当x₁≠0时，3x12-2(a+b)x1+ab=

y1

x1

=(x1-a)(x1-b)，∴x1=

a+b

2

，
∴切线斜率k2=-

1

4

(a+b)2+ab．
∵0＜a+b＜2

2

，∴

1

4

(a+b)2∈(0，2)，∴k₂＞（ab-2）
∴k₁k₂=abk₂＞ab（ab-2）=（ab-1）²-1≥-1
∴k₁k₂≠-1，故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直．

点评：本题主要考查导数，切线极值 知识，属于基础知识，基本运算的考查．