Question

（1）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且bcosC+ccosB=3acosB，
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若

BA

•

BC

=2且b=2

2

，求a和c的值．
（2）已知数列{a_n}满足递推关系式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．求数列{a_n}的通项公式和数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1））（Ⅰ）由于bcosC+ccosB=3acosB，利用正弦定理代换得出sinBbcosC+sinCcosB=3sinAcosB，整理sin（B+C）=3sinAcosB，易求cosB
（Ⅱ）

BA

•

BC

=2，即cacosB=2，ca=6①．又b=2

2

，由余弦定理8=a²+c²-2accosB，即a²+c²=12②，①②联立求出a，c．
（2）由a_n=2a_n-1+1（n≥2），构造得出a_n+1=2（a_n-1+1），通过求出等比数列{a_n+1}的通项公式得出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）（Ⅰ）由于bcosC+ccosB=3acosB，利用正弦定理代换得出sinBbcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
整理sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，所以cosB=

1

3

（sinA≠0）
（Ⅱ）若

BA

•

BC

=2，即cacosB=2，ca=6①．
又b=2

2

，由余弦定理8=a²+c²-2accosB，即a²+c²=12②
①②联立解得a=c=

6

（2）在a_n=2a_n-1+1（n≥2）两边同时加1，得出a_n+1=2（a_n-1+1），
数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列，首项a₁+1
a₄+1=（a₁+1）•2³=16，解得a₁=1．
数列{a_n+1}的通项公式为a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
a_n=2ⁿ-1
数列{a_n}的前n项和S_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n
=2ⁿ⁺¹-n-2

点评：（1）题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用．（2）题考查数列性质的判定，通项公式求解，考查转化构造的解题方法与能力．