Question

如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=

1

2

EF=2

2

，AF=BE=2，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点．
（I）求证：PQ∥平面BCE；
（II）求证：AM⊥平面ADF．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AC．∵四边形ABCD是矩形，Q为BD的中点．
∴Q为AC的中点．又在△AEC中，P为AE的中点，∴PQ∥EC．
∵EC?平面BCE，PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）∵M是EF的中点，∴EM=AB=2

2

，
又∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AM∥BE，AM=BE=2，
又∵AF=2，MF=2

2

．
∴AM²+AF²=MF²，∴∠MAF=90°．
∴MA⊥AF．
∵DA⊥平面ABEF，∴DA⊥AM．
又∵AF∩AD=A，∴AM⊥平面ADF．